Superficies Conicas
Superficie cónica se denomina a toda superficie reglada conformada por el conjunto de rectas que teniendo un punto común (el vértice), intersecan a una circunferencia no coplanaria.
Clasificación
Se denominan:
ü Cono recto, si el vértice equidista de la base circular
ü Cono oblicuo, si el vértice no equidista de su base
ü Cono elíptico, si la base es una elipse. Pueden ser rectos u oblicuos.
La generatriz de un cono es cada uno de los segmentos cuyos extremos son el vértice y un punto de la circunferencia de la base.
La altura de un cono es la distancia del vértice al plano de la base. En los conos rectos será la distancia del vértice al centro de la circunferencia de la base.
Área de la superficie cónica
El área de la superficie del cono recto es:
A = A Base + A Lateral = πr2 + πrg
Donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz del cono recto.
La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triángulo rectángulo que conforma con la altura del cono y el radio de la base; su longitud es:
Desarrollo plano de un cono recto
El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.
El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.
La forma de calcular la distancia a en el desarrollo es con la ecuación de:
Donde r es el radio de la base y h es la altura del cono.
El ángulo que esta sombreado en la figura se calcula con la siguiente fórmula:
Ángulo = 360 ( r / a )
Volumen de un cono
El volumen
La ecuación se obtiene mediante:
Donde A(x) es el área de la sección perpendicular a la altura, con relación a la altura h, en este caso.
Secciones cónicas
Al cortar con un plano a una superficie cónica, se obtiene distintas figuras geométricas: las secciones cónicas. Dependiendo del ángulo de inclinación y la posición relativa, pueden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas.
Si el plano pasa por el vértice la intersección podrá ser: una recta, un par de rectas cruzadas o un punto (el vértice).
Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley universal de la gravitación, describen órbitas similares a secciones cónicas: elipses, hipérbolas o parábolas en función de sus distancias, velocidades y masas.
También son muy útiles en aerodinámica y otras aplicaciones industriales, ya que permiten ser reproducidas por medios simples con gran exactitud, logrando volúmenes, superficies y curvas de gran precisión.
Ecuación en coordenadas cartesianas
En Geometría analítica y Geometría diferencial, el cono es el conjunto de puntos del espacio que verifican, respecto un sistema de coordenadas cartesianas, una ecuación del tipo:
Este conjunto también coincide con la imagen de la función:
X(θ.t) = ( a . t . Cos(θ) , b . t . Sen(θ) , c . t )
Que es llamada parametrización del cono.
Por ejemplo, en el caso que a = b (no nulos), éste conjunto es obtenido a partir de rotar la recta ( t , 0 , ct/a ) respecto al eje z, y por eso es llamada parametrización de revolución.
El cono no es una superficie regular, pues posee una singularidad: su vértice; quitándolo se convierte en una superficie regular disconexa y abierta. Entre sus características, podemos destacar que es una superficie reglada (es decir que se puede generar por el movimiento de una recta), y es desarrollable, es decir, que se puede desplegar sobre un plano; técnicamente esto se expresa diciendo que su curvatura gaussiana es nula (como en el plano o el cilindro).
Superficies cuadráticas
Las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola tienen su generalización al espacio tridimensional en elipsoide, paraboloide e hiperboloide.
Observación: en la ecuación de segundo grado
deliberadamente no hemos incluido los términos mixtos xy, xz y yz, pues la presencia de estos genera superficies con rotación, tema que no trataremos en el curso
Elipsoide
La gráfica de la ecuación:
Corresponde a un elipsoide. Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coordenados en (±a,0,0), (0,±b,0) y (0,0,±c). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse.
Paraboloide elíptico
La gráfica de la ecuación
Es un paraboloide elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipse :
Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o y = k son parábola.
Paraboloide hiperbólico
La gráfica de la ecuación:
Es un paraboloide hiperbólico. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son hipérbolas o dos rectas (z = 0). Sus trazas sobre planos verticales paralelos al plano xz son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos verticales paralelos al plano yz son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar.
Cono elíptico
La gráfica de la ecuación:
Es un cono elíptico. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.
Hiperboloide de una hoja
La gráfica de la ecuación:
Es un hiperboloide de una hoja. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son elipses
Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan.
Hiperboloide de dos hojas
La gráfica de la ecuación:
Es un hiperboloide de dos hojas. Su gráfica consta de dos hojas separadas. Sus trazas sobre planos horizontales z=k son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas.
2 comentarios:
QUE BUENOS GRÁFICOS Y MUY CLARAS LAS EXPLICACIONES.
ESTÁN MUY BUENOS PARA MOSTRAR A ALUMNOS CURIOSOS.
las Nubes de Magallanes orbitan la Vía Láctea quizá en órbita parabólica e irían "de paso" para no volver, algunos cometas vienen hacia el sol y salen despedidos en órbita hiperbóllca hacia los confines del Sistema Solar para no volver, buen viaje
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